向量定义
向量定义
n个有序的数排到一起就是一个向量
向量定义解析
组成：数字 数的个数：n大于等于1，1个数也是向量，这没错，但在编程代码中会有细分，后面再说 有序：向量的数讲究顺序 定义中就这三点，但在印制到书纸上有不同的写法， 有括号的(),在编程中则是列表[]， 这是特定场景下的写法不同，不影响定义三个点
向量要表达的核心内容（仅个人观点，如有雷同，纯属巧合...）
对应解析几何，就是二维平面 向量(x,y) 与原点之间形成一个有向线段，因此，向量的核心要素有两点： 大小，方向 推广到多维以后，这两点也适用，只是不用场景下还有其他的名称， 比如， 形容大小，还可以用 距离，长度，欧氏距离，偏差等等，但还是这个意思， 方向，类似的形容还有夹角，偏差等 在同一维度上，差异只有大小和正反向， 在两个维度上，差异有大小，夹角/方向 在三个维度上，差异的形容，还是大小，夹角/方向，但你能隐隐感觉到，虽同是大小，方向，但与二维平面上的大小与方向有所不同 在n个维度上，差异的形容，还是大小，夹角/方向，这时，你会感觉出大大的不妥，却又不知道该怎么弄... 先存疑...后面再说... 这里个人认为，n维(n>=3)向量的不同，体现在“结构”上，任何一维上的差异，都是整体结构差异某个维度的体现 所以， 向量之间的差异，为其结构上的差异， 跟其他人交流时，还要说大小与方向，因为这只是个人观点，个人在看到向量时，内心的真实看法... 要上来与他人说结构，会让他人一脸迷茫，你在说什么... 这个结构，就是向量的各个维度形成的一个事物，它的现实含义，取决于每个维度的现实意义 2维的结构就是2维平面上的线段， 但要知道，这个线段并没有完全表示出向量的所有信息， 没有方向的线段可以映射出无数个(x,y)这样的2维坐标，可以构成以圆点为中心的一个圆， 圆上的任一点映射出来的(x,y)的长度都是该线段的长 再加上方向，在直角平面坐标系中，长度与方向同时确定，那个该线段就可以唯一确定了 在2维平面上，长度+方向 = 向量 3维的结构就是3维空间中的线段， 4维的结构是什么，本人说不出来，就叫它结构吧，它能100%体现出两个向量之间任何细微的差异 在再高维度的时候， 通常就从组成向量本身的元素，从不同的 单一维度上的数值 及 它们的顺序 去描述向量 所以， 向量的不同，就在于它的结构，在于各个维度之间的差异 大小，方向 是最主要的两个因素 大小与方向不同，两个向量肯定不同， 大小与方向相同，两个向量各个维度上的数值是否相同，这个有待证明，目前本人不确定...
大小与方向相同，两个向量各个维度上的数值是否相同?
个人猜测各个维度上的数值也是相同的，猜测依据如下： 向量在2维平面直接坐标系中，向量确定，那么映射的(x,y)是确定的 到3维，多出来的1维与原2维的任一一维构成的新的一个2维平面上， 它的两个坐标(x,z)是确定的，并且其中一维x的映射与原平面上的x一致，是两个平面垂直相交的公共维度x 平面1(x,y)是定的，其中x定了，导致平面2上(x,z)中的z是确定的， z确定了，就意味着平面3上的(z,y)也是确定的 一旦向量确定了，不管它有多少维，在任一一个2维平面上的投影是确定的，不再变了， 而2维平面上一个确定的线段，对应的是一组确定的坐标， 这里的坐标系，任一维度都垂直于剩下的所有维度，任一平面都垂直于剩下的所有平面, 并且向量在一个平面上分解出来的两个维度上的元素值 中的每个值，都关联着两个相互垂直的平面， 因为两个平面垂直相交，某个元素值既是平面1上其中一个维度的值，也是另外一个平面该维度上的值， 所以向量的大小与方向定了，各个维度上元素也就定了 以上仅是个人猜测，未经严格证明，参考一下就行
向量空间
这个思考的过程，会在脑海中呈现中空间的结构，空间的概念 体会一下 向量是有多个元素组成的，它们相互之间有 “位置”，“顺序” 因有 顺序，所以各个元素之间有了 位置 的不同 因位置不同，所以各个元素之间有了顺序，有了结构... 有人说这就是“道”，本人给它加个定语，静态的道，即规律是不变的... 或者说能被人认识的规律是不变的，变化的规律人认知不到/不全...
向量加减乘除
向量的矩阵乘法，就是向量内积 在代码计算落地时，没有列向量/列向量这个维度，或者说不管是行向量还是列向量，都按1维列表处理
余弦相似度
n个数排成的线性结构就是向量
向量是n个数组成的线性结构，
向量中每个数称为向量元素，
向量中每个数都存在一个位置，
向量中每个数都存在一个顺序，
向量中每个数都存在一个方向，
向量中每个数都存在一个长度，
向量中每个数都存在一个值，
向量中每个数都存在一个范围
通常谈一个向量，会将这放到对应的向量空间中考虑，
空间会有一个坐标系，常见的为正交直角坐标系
向量的大小与方向，是在定义上推理出来的概念
因为向量不等价于 有大小和方向的事物
大小与方向，是观察/描述向量的两个维度/角度
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有方向就可以使用cos计算其夹角，夹角越小，向量方向越一致 那么，用cos衡量是否忽略了大小的差异呢？ 换句话说，只是方向相同，就可以判断两个事物相同吗？ - 这肯定不是 - 那为什么中AI中可以使用cos计算两个向量的差异
cos = (a·b)/(|a|×|b|) = a与b的向量内积/(a的模型×b的模型)
可以看到cos的计算就抹掉了向量的大小，归一，
不管向量原来多大，除以自己的模以后，就归一了
就这使得所有的向量处于同一维度，只看其夹角
或者说，对于一个向量，先归一，再看夹角
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AI中多是分类问题，比如，区分 苹果，梨，西红柿 向量值大表示大苹果，向量值小表示小苹果 但物体的大小并不是AI分类的任务， 不管是小苹果，还是大苹果，都是苹果，不是梨，也不是西红柿 因为让所有向量除以自己的模，归一 然后求其夹角， 相近的必定在近似在一条直线上 或一个方向 所以，只要求出两个向量的夹角， 就能知道相似度了 |
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参考