无穷小与极限思想
现实世界中任意给定一个正数m,
那么用m除以10 或 1W...,就可以得到一个比m更小的数
所以，如果一个数给定了，那么总可以找到比它更小的数
并且可以没完没了地进行下去... 前提是数给定了
现在我们不定下这个数，而是以概念/抽象的形式描述，定下无穷小的性质，
1. 无穷小是描述数相关的一个量，类似y=x一样，x可以取各种不同的值，但x对应一个数，并且y=x是一个一元一次线性方程
2. 无穷小不是一个确定的数，而是描述一种数的变化，即你任意给定一个正数m，它都会比m小
3. 无穷小是大于0的，是正的
4. 对于任意给定的正数m,它与0之间都存在着一个无穷小(这样一个概念/逻辑存在)
5. 在非负数中，0是唯一比无穷小还要小的数，
注意哈，既然都唯一了，说明0与无穷小之间没有其他确定的正数了
无穷小的现实意义
无穷小到底有多小？ 任意给定的正数m，除以这个宇宙所有原子的个数，除上10W次，这样一个数算是无穷小吗？ 不算，因为它给定了，还可以接着除... 无穷小描述的是无限逼近0的一种趋势，是一种无穷无尽逼近的状态... 这种状态还有另外一个名字，就是 极限 极限，用于描述一种极致的状态 极致到什么程度呢？就是 唯 一 (这里约定是线性维度，即1维/1阶，y=x这个维度 上确定的数，即指0，无穷小的极限是0) 由于无穷小是逼近0的，这里的 唯一 就是指：没有任何一个给定的正数能比无穷小更接近0 这也是极限的思想：什么叫 极？ 唯 一 便是 极 通过无穷小，引出了极限的概念 这里的唯一指在非负数范围内， 对于任何一个可以确定的非负数，0是最接近无穷小的确定的数 其对于任何一个确定的正数，都比无穷小大 0是可以确定的非负数中 “唯一” 最接近无穷小的数
为何要反复强调“确定”
这是为了限制范围，就“数”而言，它在数轴上并不是连续的， 有无限循环小数，还有无限不循环小数， 比如圆周率，3.1415926... 尽管尚不能确定它有多长，但不防给它一个名字，定下它的概念，描述/研究 它的性质 这里的确定更确切指现实中的确切，可以对应实物 也许，在虚的范围里，比如纯逻辑上的比较，也许圆周率可以无限延伸下去， 但在现实中，可能只需要前100位，就能解决N多的实际问题了 又比如无穷小这个数，前面特意提到y=x,实际上就是在说x*x有二次型， 那么无穷小也可以有平方，这是高阶无穷小， 这是纯逻辑上的运算/比较/结构， 在现实中，可能小数点后10位的数就能解决很多问题了，并不需要它一直小下去 这是一种逻辑上的 概念/形式/存在
没有任何一个给定的正数能比无穷小更接近0
无穷小实际上描述的是一种状态， 无限小的一种状态(其实正负只是数的其中一个维度)， 从正的方向无限逼近0的一种状态，一种极限的变化趋势 无穷小不是一个确定的数值
在正数的范围内，有没有比无穷小还要小的存在？
有
无穷小不是确定的数值，所以这个存在也不是确定的数
但无穷小是线性的，一如 y = x一样，x是个变量，自变量，x可以是1,2,3,...
无穷小是一种状态，一种趋势，同样可以用一个符号来表示
无穷小符号通常用小写希腊字母表示，如α、β、ε等，
有时候也用α(x)、ο(x)等，表示无穷小量是以x为自变量的函数。
以α表示无穷小，那么α×α，即α的2次方，就是比α高一阶的无穷小
α的2次方就是比α更小的存在，但它同样不是确定的数值，也是一种变化趋势
简言之，没有比无穷小更小的(确定的)正数，
但有比无穷小更接近0的状态/存在，那就是它自己的高阶形式
前面有提到，极限之极就在于唯一，但这是有范围的，
这个范围/提前就是“确定的非负数”，在这个范围下，0就是那个唯一
无穷小以及基于它自身的高阶无穷小，则不在这个范围内，所以并不与极限的唯一冲突
其实，极限在定义时，必会说明其定义域，这个域就是范围
在这一个什么样的范围里，是唯一的！
精确的 范围，经过N次验证的 逻辑，这正是数学能做到精准的根源，为数学之本 其实，在讨论中发现有冲突的观点/现象时， 逆向思考这些观点的范围是不是大了/偏了/错位了， 一经思考，冲突自消...
极限的定义
对于任意给定的正数𝜀,总存在正数𝛿,使得当0 < |x - x0| < 𝛿时，|f(x) - A| < 𝜀 即当x趋于x0时，f(x)趋于常数A (这里特意强调了A是常数，目的在于说A是一个确定数值)
去心邻域
x趋于x0,但x不等于x0,是无限接近x0，但不要求x=x0 即允许f(x)的定义域不包含x0这个值
变量及其变化
使用变量描述数据变化的规律
用变量表示变化的数，通常使用符号,a,b,c,x,y,z,w等等 以x为例，可以表示一系列的数，定下这个基调之后，就可以进一步引入更多的内容 - 2x表示的数是x的两2倍，虽然有些废话，但要在脑海构画出这样一幅情景： - 一系列数据在变化，而另外一系列数据与该系列的数据变化规律差不多，但幅度比较大； - 但总体上它们的曲线变化趋势近似/同比 - 为了更好地研究2x与x的变化规律，引入坐标系 - y1 = 2x ,y2 = x - 在解析几何的图形中，可以看到y1(就是2x)是y2(x)的两倍大小 y = ax + b = f(x)，f(x)中的x通常称为自变量， x经过f(x)=ax+b 这样一个结构之后，得到新的变量y,这个变量y 叫 因变量 同样是变化，f(x)的结构不一样，因变量y随x的变化规律也不一样
变化的比值/变化率
什么是变化 - x - x0 可以表示一个变化,对应y的变化是y - y0 - x变量本身是变化吗？ 不是 - x是变量，代表的是一系列的数，可以呈现一个数据分布，可以描述该分布的规律 - 但x不是变化，x-x0 才是变化 变化的比值 - 两点确定一条直线，以x0表示一个定点，x表示直线上其他任一点 - y - y0 = k(x - x0) 就可以表示这条直接 - (y - y0)/(x - x0) 就可以描述变化的比值 k - 虽然变化是不定的，但依然有其规律，有其不变的事物 -
变量的阶数
阶数： 这里的变化是指自变量x对应的因变量y的变化，以y=f(x)为例 ， 如果其变化是一个常数，即y-y0=f(x+x0)-f(x)=a(x+x0)+b-(ax+b)=a*x0（其中a*x0是个常数）,则变量y是一阶变量 如果其变化是一阶变量，即y-y0=f(x+x0)-f(x)=(x+x0)(x+x0)-x*x=2x*x0 + x0*x0,则变量y是二阶变量 ... x的0阶是1,y = ax + b实际上是y=ax + b*x的0次方，这里面有0阶，1阶， 自然会问，会不会有二阶与三阶，就是下面这样的 y = a0*x的0阶 + a1*x的1阶 + a2*x的2阶 + a3*x的3阶 + ... + an *x的n阶 这是单个变量在各个阶数上的展开,描述了单个变量的N多变化， 实际上x的2阶，就是x*x,可以使用x + x + ... 直到x个x相加得到， 乘法的本质还是加法， 上面的按阶展开，某种程度上等价于 y = w0 + w1*x + ... + wn*x 区别是速度与效率... 也就是说，低阶运算使用等价的高阶运算来实现，速度要快上很多
变化中不变的部分
(y - y0)/(x - x0) = k 这个k就是不变的部分 y = ax + b = f(x), f(x)代表不变的结构 这个不变的结构，也就是函数，是变化中不变的部分， 通常更看中同阶的变化率k 变化的事物不定，重点研究的是其中不变的部分
因变量的导数
y=f(x)可导
当△x->0时，△y/△x的极限存在，则y=f(x)可导 y = f(x) = ax + b 是一个变量，因x变化而变化的量， y的变化/x的变化 = △y/△x = (y - y0)/(x - x0) = a 由此可见，函数y=f(x)的导数就是 y的变化/x的变化, 其结果是比f(x)低一阶的另外一个函数g(x) 常数的导数是0,即常数没有变化 y=f(x) = ax + b一阶函数的导数就是 常数 y=f(x)二阶函数的导数就是 x的 一阶函数 y=f(x)n阶函数的导数就是 x的 n-1 阶函数 当y=f(x)的阶数n大于或等于2时， △y = f(x+△x) - f(x),消去了x的最高次冥及常数项，剩下的是△x从1阶到n阶的展开， △y/△x = y的导函数g(x) + 𝛼(无穷小)（当△x->0时） 其中𝛼是a1*△x的一次方 + a2*△x的二次方 +...+ (an-1)*△x的n-1次方展开, y的导函数g(x)就是 f(x+△x)展开后 △x一次方的系数， 其他系数由于△x存在，在△x->0时，趋于无穷小其极限归于0了
因变量的微分
dy是△y的线性主部
△y/△x = y的导函数g(x) + a1*△x的一次方 + a2*△x的二次方 +...+ (an-1)*△x的n-1次方 △y = a0*△x + a1*△x的2次方 + a2*△x的3次方 +...+ (an)*△x的n次方 当△x->0时，△x的2次方及后面的△x的n次方 是比△x更高阶的无穷小， 此时，△y 近似于 a0*△x， a0*△x 就是y=f(x)的微分，记作 dy 当y=f(x)是1次函数时，比如y=ax+b时，△y = dy + 0 当y=f(x)的次数大于等于2时， △y = dy + o(△x) 其中，o(△x) 是△x高阶无穷小的展开
dy是f(x)导函数的分母
y = f(x) f(x)的导函数 = dy/dx 在自变量x这个维度，dx就是△x，即dx=△x
微分思想
首先，我们看到的是一个函数y=f(x) ，这个函数对应一个图像 比如,y=x*x,这是一个曲线， 然后是，入微，怎么进入“微”的视觉呢，或者说怎么分才叫“微...分”呢？ 微分dy是△y线性主部，△x是共用的，是一样的 也就是说，将x分为一个个△x的时候，y=f(x)对应的△y 近似于 一个直线y=ax+b中△x对应的△y2(也就是dy) 直线y=ax+b与y=f(x)在△x范围内相交，它们的△y近似，并且前者是后者的微分 微分是一种什么样的分法呢？ 是一种 微小的区域 的线性分法， 是将函数y=f(x)用无数多个y=ax+b的 微小线段 表示的方法 其中a是y=f(x)在x处的导函数 微分意在强调将 一个事物 分解成 无数多个 微小的线段，是一种线性分法
定积分
微分回顾
微分dy是△y的线性主部，当△x->0时，△x的高阶部分可忽略 △y = a0*△x + a1*△x的2次方 + a2*△x的3次方 +...+ (an)*△x的n次方 当一系列△y相加时 △y1=y1-y0 △y2=y2-y1 △y3=y3-y2 ... △y1 + △y2 + △y3 + ... + △yn = yn - y0 ≈ w1*△x + w2*△x + w3*△x + ... + wn*△x = dy1 + dy2 + dy3 + ... + dyn 其中w1,w2,w3,...,wn是y=f(x)在相应x处的导数
积分思想
y=f(x)的导函数为y=g(x),那f(x)叫g(x)的原函数
逆向看微分的过程：
w1*△x + w2*△x + w3*△x + ... + wn*△x
≈ △y1 + △y2 + △y3 + ... + △yn = yn - y0
是一个由导函数y=g(x)到y=f(x)原函数的过程，
将导函数y=g(x)的x轴分成无数份，每一份为△x，
其中w1,w2,w3,...,wn是y=g(x)在相应x处的函数值，
wn*△x是一个 微小矩形，所有这些 微小矩形相加，就是积分
这里x指定区间，
即函数y=g(x)在指定区间[a,b]上的积分为 y=g(x)在x(其中x∈[a,b])上的定积分
“定”指x有区间，并非负无穷到正无穷，
一个函数在[a,b]区间上的定积分的结果是其原函数在[a,b]区间的差,即 f(b)-f(a)
不定积分
不定积分的定义
x的作用域是非负无穷到正无穷， 那 y=g(x)在x上的积分 就是不定积分 g(x)在x上的不定积分 = 原函数f(x) + 常数C
不定积分指什么
g(x)在x上的不定积分 = 原函数f(x) + 常数C 举例说明： 设原函数y=f(x) = ax + b , 导函数y=g(x)=a,在二维坐标系中就是一条直线， 在x轴上取一系列的△x, a*△x就是一系列的 微小矩形 这里为说明不定积分公式左右的关系，△x就不取微小的值了， 取1,2,3,...便于理解，同时对于导函数不变的直线来说也是等效的 在x轴上取1，2，3，... ,也就是说，△x = 1 每个矩阵的大小a*△x = a, 这里我们有两组变量，我们观察这两组变量之间的关系 函数y=g(x)=a, 在[0,1]的积分是a 在[0,2]的积分是a+a=2a ... 在[0,n]的积分是a+a+...+a=n*a 它们之间的关系不就是x与ax之间的关系吗！ 所以，函数y=g(x)=a在x(x∈[-∞,+∞])上的积分就是ax , 即一个函数的不定积分就是其原函数的非常数项部分 我们将最开始的公式变换一下 原函数f(x) = g(x)在x上的不定积分 + 常数C 意思就是原函数与导函数的不定积分只差一个常数项C 最开始的定义，意在强调 积分 是由 导函数在x变量的维度上通过 微小矩形 累加/积累 得到的 原函数 如果将原函数看作两个部分，变化的部分+不变的部分，那么导函数的不定积分就是原函数中变化的部分
求导函数不定积分的原函数
实际上就是求一个函数的原函数 回忆一下微分，入眼首先是原函数， 我们要观察的是原函数的变化（实际上是低一维的变化，就是它的导函数的值）， 微分的视角是用一个个 微小线段 替代原函数的曲线， 这些 微小线段的斜率 就是原函数在对应x处的导函数的值 而在积分中，入眼的是导函数，导函数在x处的值*[x,x+△x]得到的一系列的面积的累积， 这种累积的变化趋势就是原函数的变化趋势，其中的常数项不改变其曲线形状， 我们设F(x) = 原函数f(x) + 常数项C0，满足F(0)=0,即将y=f(x)上下移动一下，使之通过原点 由定积分的公式可知： 导函数y=g(x)在[0,x]上积分=F(x)-F(0)=F(x)-0=F(x) 从这个角度看，导函数在[0,x]上的积分， 即导函数曲线与x轴[0,x]范围形成的面积，就是原函数F(x)的值 按积分的定义，将[0,x]分成n个微小区间，g(x1)*△x + g(x2)*△x +...+ g(xn)*△x 就能得到F(x)的值 使用计算机暴力计算，可以得到一组(x,F(x))数组供人使用，但无法得到y = lnx + b 这种精准的数学表达式 高等数学的解决思路： 原函数求导得到导函数，这个过程可以精准计算， 根据历史经验得到一组组原函数与导函数的对应关系表， 比如,lnx的导函数=1/x，有了这个参照关系，那么1/x的原函数自然就是lnx + C 高等数学188页，原函数与导函数参照关系，共给出了13种， 包括了一元n次，三角函数，反三角函数，指数函数，对数函数 五大类，基本上覆盖了当前数学常用函数 这全吗？当然不...还有无数的未知函数等着人们去发现, lnx的低一级变化是1/x，那lnx的高一级变化，即lnx的原函数是什么，你知道吗？
参考